Top > 近似法 > 03.WLSA
Last-modified: Sun, 09 Mar 2008 23:19:01 JST

2次元への拡張 Edit

2次元への拡張と完全性の話をしておく。

[TODO]

重み付き最小二乗近似 WLS,WLSA(Weighted Least Square Approximation) Edit

応用例として、重要なデータに大きな重みをつけ、重要ではないデータには小さな重みをつけて最小二乗近似を行う。 この近似は重み付き最小二乗近似と呼ばれる、以下、英名のWeighted Least Square Approximationを略してWLSAと書く。 たとえば、広い範囲にわたって実験データを得たけれど、局所的によく近似された(局所的に誤差が少ない)近似関数を求めたい場合などに用いることができるだろう。

基本的な手順は前述のLSAの場合と同じだ。今回は始めから多次元の場合を考えて、 節点の位置は\mathbb{x}_iとして、ベクトル表示しておく。 ただ、次の重み付けされた二乗誤差和を最小にするように近似関数を定める。

J(\mathbb{a})= \sum^{N}_{i=1} w_i \left( \mathbb{p}^T(\mathbb{x}_i) \mathbb{a} - \bar{u}_i \right)^2

w_iはデータ(\mathbb{x}_i,\bar{u}_i)に対する重みで、w_iの値が大きければそのデータは近似関数の決定時に与える影響が大きい(正の値を与えるべきだと思う。負だとどうなるんだ・・)。当然、w_i=0とする場合は、そのデータは影響を与えない。 行列を用いた形式で書けば、LSAの場合に加えて、重みを並べた対角行列

\mathbb{W}=diag(w_1,w_2,\cdots,w_n)=\begin{bmatrix}w_1&&&0\\&w2&\\&&\ddots&\\0&&&w_n\end{bmatrix}

を導入して

J(\mathbb{a})=(\mathbb{Q}^T \mathbb{a}-\mathbb{\bar{u}})^T \mathbb{W} (\mathbb{Q}^T \mathbb{a}-\mathbb{\bar{u}})

を評価関数とする。LSAのときと同じように、a_iで偏微分して整理すると、

\mathbb{a}=\left( \mathbb{Q}^T \mathbb{W} \mathbb{Q} \right)^{-1} \mathbb{Q}^T \mathbb{W} \mathbb{\bar{u}}

u(\mathbb{x})=\mathbb{p}^T(\mathbb{x}) \mathbb{a}に代入して、

u(\mathbb{x})=\mathbb{p}^T(\mathbb{x}) \left( \mathbb{Q}^T \mathbb{W} \mathbb{Q} \right)^{-1} \mathbb{Q}^T \mathbb{W} \mathbb{\bar{u}}

が得られる。形状関数は

\mathbb{\phi}^T(\mathbb{x}) = \mathbb{p}^T(\mathbb{x}) \left( \mathbb{Q}^T \mathbb{W} \mathbb{Q} \right)^{-1} \mathbb{Q}^T \mathbb{W}

である。\mathbb{W}が単位行列のとき、最小二乗法である。2次元の拡張も同じように基底p(\mathbb{x})を変えればよい。 \mathbb{Q}^T \mathbb{W} \mathbb{Q}の逆行列が存在する条件は、\mathbb{W}の対角成分である重みw_im個以上非ゼロであることと等価である。




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